Juliomar, acredito ter resolvido o problema mas não achei exatamente a causa:
Quando me referi que em Design Time o componente conectava e em Run Time dava o erro, só dava certo quando eu abria antes um dos meus projetos.
Então identifiquei que um dos meus projetos o Zeos conectava normalmente, tanto em Desing quanto em Run Time.
Achei este link na internet que mencionava outras dependências de DLL para o Zeos funcionar:
https://pgolub.wordpress.com/2009/03/16/client-libraries-mess/
Então constatei que haviam DLLs dentro do projeto que funcionava que não estavam no projeto que dava erro.
Tentei analisar todas as DLLs mencionadas no link e fui copiando 1 a 1 para o projeto com erro, mesmo assim sem sucesso.
Então copiei todas as DDLs da pasta do projeto bem para a pasta do projeto com erro e funcionou, ou seja, era a falta ou desatualização de alguma DLL.
Sobre em Design Time o projeto pelo menos conectar, era porque antes eu havia aberto o projeto que funcionava, e acredito que a DLL fica presa na memória, assim fazendo o projeto com erro conectar, mas em Run Time o EXE deve procurar as DLLs na pasta, daí o erro.
Enfim, era realmente a falta ou desatualização de alguma das DLLs, mas não as DLLs libpq81.dll, libpq.dll que eu havia mencionado, e sim alguma outra, mas não sei identificar qual o nome dela pois acabei copiando varias DLLs ao mesmo tempo para ver se resolvia o problema.